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Revista UNIMAR 34(1)- rev. UNIMAR.- 13-28.
ISSN: 0120-4327, ISSN Electrónico: 2216-0116,
Universidad Mariana, San Juan de Pasto, Nariño, Colombia, 2016.
La didáctica y el encanto de las Matemáticas
RESUMENABSTRACT
La didáctica y el encanto de las Matemáticas*
Omar Parra Rozo**
Hernando Barrios Tao***
Vianney Rocío Díaz Pérez****
Cómo citar este artículo / To reference this article / Para citar este artigo: Parra, O., Barrios, H. y Díaz, V.
(2016). La didáctica y el encanto de las Matemáticas. Revista UNIMAR, 34(1), 13-28.
Fecha de recepción: 30 de noviembre de 2015
Fecha de revisión: 02 de febrero de 2016
Fecha de aprobación: 17 de marzo de 2016
El presente producto investigativo aporta herramientas metodológicas y didácticas a los docentes
e investigadores para su consecuente trabajo de aula y para el fortalecimiento de las competencias
investigativas y matemáticas. La metodología utilizada fue la exploratoria y hermenéutica analítica,
centrada en el análisis documental a partir de la búsqueda de textos que planteen elementos teórico-
prácticos en la utilización de instrumentos didácticos, experiencias, juegos y desafíos. Con base en el
análisis, se plantea una propuesta de apoyo a la creación del pensamiento matemático desde la lectura,
la narrativa, la visualización, el juego, la concepción ética y la resolución de problemas.
La propuesta se adscribe, primordialmente, al marco epistemológico y semiológico del escritor Umberto
Eco y de algunos docentes e investigadores que trabajan en torno a la creación de un pensamiento
matemático y de diversas formas de acceso a la problemática pedagógica y didáctica en este ámbito.
Palabras clave: Pensamiento matemático, resolución de problemas, didáctica, narrativa, juego.
Didactics and charm of Mathematics
This research product provides methodological and didactic tools to teachers and researchers for their
consequent classroom work and for the strengthening of research and mathematical skills. The methodology
used was exploratory and analytical hermeneutics, focused on documentary analysis based on the search
for texts that present theoretical and practical elements in the use of didactic instruments, experiences,
games and challenges. Based on the analysis, a proposal is proposed to support the creation of mathematical
thinking from reading, narrative, visualization, play, ethical conception and problem solving.
The proposal is primarily ascribed to the epistemological and semiologic framework of the writer
Umberto Eco and some teachers and researchers working on the creation of a mathematical thinking
and various forms of access to pedagogical and didactic problems in this area.
Key words: mathematical thinking, problem solving, didactics, narrative, game.
* Artículo Resultado de Investigación. Este producto se inscribe dentro del trabajo investigativo que adelanta el grupo de investigación
“Cultura y Desarrollo Humano” de la Facultad de Educación y Humanidades de la Universidad Militar Nueva Granada, Bogotá,
Colombia. El artículo se deriva del Proyecto de investigación Hum 1808: Didáctica de las humanidades en la educación superior, mediadas
por la narrativa. Fase 2, nanciado por la Universidad Militar Nueva Granada.
** (QEPD). Posdoctor en Métodos, Metodologías y Técnicas de Investigación en Ciencias Sociales y Humanidades; Posdoctor en Na-
rrativa y Ciencia; Posdoctor en Comunicación, Educación y Cultura; Doctor en Literatura; Doctor Honoris Causa en Investigación y
Educación Superior. Director de la Línea de investigación de Bioética, educación y cultura-Doctorado en Bioética UMNG. Director
del Centro de Investigaciones de la Facultad de Educación y Humanidades y docente titular de tiempo completo de la Universidad
Militar Nueva Granada, Bogotá, Colombia. Contacto: omar.parra@unimilitar.edu.co
*** Doctor en Teología. Director Línea de investigación Bioética, Biopolítica y Biojurídica, Facultad de Educación y Humanidades. Docente
de tiempo completo de la Universidad Militar Nueva Granada, Bogotá, Colombia. Contacto: hernando.barrios@unimilitar.edu.co
****
Doctorante en Educación; Magíster en Educación con énfasis en el Aprendizaje de las Matemáticas. Coordinadora del Pro-
grama de Maestría en Educación de la Universidad Militar Nueva Granada. Docente de tiempo completo de la Universidad Militar
Nueva Granada, Bogotá, Colombia. Contacto: vianney.diaz@unimilitar.edu.co
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Omar Parra Rozo, Hernando Barrios Tao, Vianney Rocío Díaz Pérez
A Didática e charme das Matemáticas
Este produto de pesquisa proporciona ferramentas educacionais e metodológicas para professores e pes-
quisadores para o seu subsequente trabalho em sala de aula, e fortalecer habilidades de investigação e
matemática. A metodologia utilizada foi exploratória e hermenêutica analítica, com foco em analise de
documentos com base em textos que apresentam elementos teóricos e práticos no uso de ferramentas
educacionais, experiências, jogos e desaos. Com base na análise, surge uma proposta para apoiar a cria-
ção de pensamento matemático da leitura, a narrativa, visualização, de jogo, concepção ética, e resolução
de problemas. A proposta atribui principalmente à estrutura epistemológica e semiológica do escritor
Umberto Eco e alguns professores e pesquisadores que trabalham em torno da criação de um pensamento
matemático e várias formas de acesso aos problemas pedagógicos e educacionais nesta área.
Palavras-chave: Pensamento matemático, resolução de problemas, didática, narrativa, jogo.
RESUMO
1. Introducción
Preludio. Lectura y matemáticas.
La lectura faculta al individuo para la apropiación
del lenguaje matemático y de otros lenguajes. Se
sabe que los primeros acercamientos del ser humano
a la realidad responden al “desarrollo de un proceso
cognitivo” (Wolf, 2008, p. 33). En este proceso
inicial se recrean los elementos constitutivos del
entorno y se trata de explicar la realidad a través
del símbolo. El hombre basado en “operaciones
mentales básicas de relación, selección, asociación,
reacción y grabación” (Parra, 2003, p. 25), fabrica un
universo cerebral interior que lo ayuda a pensar,
sentir y actuar: a concluir que el hombre “es una
simbiosis de racionalidad y símbolo” (Parra, 2004,
49). En el camino matemático que se transita desde
el nacimiento hasta la muerte se plantea la “estética
del número y su representación matemática como
una explicación de la realidad, la cual, en el fondo
es similar a la interpretación estética del entorno,
a la simbólica del número” (Parra, 2004, p. 51). El
sujeto pretende explicar la realidad que lo rodea y
acude, en primera instancia a tratar de leerla, de
sentirla, de apropiarla para poder interactuar con
ella o desde ella.
Dentro de la aprehensión simbólica, la comprensión
lectora empieza a ser un problema cuya solución
depende de cada lector. Tanto se profundiza en
un tema o en un hecho cuanto el lector lo quiera
y se apropie o posea las herramientas para hacerlo.
El equipo de investigadores del Instituto de
Lingüística de la Facultad de Filosofía y Letras
de la Universidad del Cuyo, coordinado por la
doctora Liliana Cubo de Severino ha investigado esta
temática y trata de acercarse a la problemática lectora
partiendo de las operaciones cognitivas primordiales
de percepción, insertándose en los vericuetos
intrincados de archivo y procesamiento de las señales
percibidas para concluir planteando “estrategias
inferenciales, superestructurales, macroestructurales,
microestructurales, proposicionales y léxicas”. En su
obra Leo pero no comprendo se propugna por un sendero
elemental que parte de la búsqueda de los intereses
del lector, se adentra en los saberes previos y se ja en
la reformulación de las preguntas con el propósito de
responder al cuestionamiento básico: “¿qué hago yo,
como docente, para que mis alumnos comprendan lo
que leen?” (Cubo, 2008, pp. 40-61).
El cuestionamiento que se hace un docente de
manera consciente o inconsciente lo empuja hacia
el ámbito didáctico y lo lleva a pensar en diversas
técnicas o instrumentos que apoyen la enseñanza y,
por supuesto, el aprendizaje. Las investigaciones y
experiencias pedagógicas conuyen en la necesidad
de enfatizar en la comprensión lectora, en las
estrategias didácticas y en el medio donde se da el
proceso lector:
¿Cómo abordan los alumnos los textos de estudio?
¿Cómo inciden las estrategias didácticas del docente
en la capacidad de comprensión lectora de los
alumnos? ¿La edad y la práctica de la lectura de textos
académicos favorecen la capacidad de comprensión
lectora? ¿Qué experiencias previas de los alumnos
pueden actuar como facilitadores u obstaculizadores
del proceso de comprensión lectora? ¿Cómo afectan las
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condiciones del contexto a la adquisición y desarrollo
de habilidades lectoras? ¿La actitud de la familia frente
a la lectura, constituye un factor importante para
lograr esa habilidad? En función de estas preguntas de
investigación nos propusimos como objetivo indagar
los factores que inciden en la comprensión lectora de
alumnos de nivel superior. (Gragna, Luna, Ortiz,
Pelayes, Rodríguez y Varela, 2008, p. 2).
No hay ninguna duda en que la lectura ocupa el
primer renglón en los procesos de aprendizaje.
La Organisation for Economic Co-operation and
Development (OECD), consciente de la importancia
de los procesos lectores, los unió a los desarrollos
de aprendizaje y desenvolvimiento en matemáticas
y ciencias y ha organizado unas pruebas sobre
lectura, matemáticas y ciencias, conocidas como
PISA, las cuales responden al Programa para la
Evaluación Internacional de Alumnos. El propósito
principal de estas pruebas se enfoca a la “resolución
de problemas” (OECD, s.f.).
Las pruebas llevadas a cabo en el año 2012 no
tuvieron los resultados esperados para algunos
estados como México, Perú y Colombia, donde se
esperaba un alto rendimiento; fueron satisfactorias
para China, Corea del Sur, Vietnam, Polonia,
Finlandia y Canadá, entre otros, y mostraron
controversia en países como Francia, España y
Estados Unidos. A Colombia no le fue bien, al
contrario, se situó pésimamente:
Le fue muy mal, pues quedó en el puesto 61 de 65
países, sólo por encima de Perú, Indonesia y Catar…
Lo segundo es que, más allá de la caída en el escalafón
de diez puestos, los resultados para el grueso de los
estudiantes son malos, no solo ahora, sino en 2006 y
2009. En matemáticas, en las tres pruebas, más del 70
por ciento de los estudiantes ni siquiera llegó al nivel
2, considerado el mínimo para pasar las pruebas…
y para desempeñarse en la sociedad. En lectura, en
promedio, la mitad de los estudiantes tampoco pasó
la prueba. Lo mismo en ciencias, en donde los rajados
superan el 60 por ciento. (Semana, 2013).
Cuando se realizan las pruebas en niveles que son
claves en los ámbitos matemáticos, en referencia
a la vida real y lo que atañe a la misma, la
administración de recursos, la identicación y el
análisis de situaciones, la economía, entre otros,
con el propósito central de resolver problemas, la
respuesta que brindan los estudiantes es deciente
y muestra las debilidades formativas, didácticas y
de aprendizaje:
¿Cómo elegir los mejores modelos de un catálogo para
amueblar un cuarto? ¿Cómo diseñar una prueba para
averiguar por qué falla un dispositivo electrónico?
Estos son algunos de los problemas planteados a
85.000 estudiantes de 15 años que participaron en
una prueba internacional realizada por primera vez
por la OCDE, la Organización para la Cooperación y
el Desarrollo Económicos, que mide la habilidad de
resolver ‘problemas de la vida real. (Martins, 2014).
En este punto, los profesores, los padres de familia,
los estudiantes y las instituciones educativas se
preguntan al unísono por los resultados. Parecería
que los países que se encuentran respaldados
económicamente responden a las pruebas
mencionadas y a otras, establecen programas
en pro del adelanto cientíco y dedican sumas
presupuestales considerables a los procesos
conducentes a educar, aprender y desarrollar
lenguajes cientícos, matemáticos que aceleren el
desarrollo. Desde esta perspectiva la comprensión
lectora que, a su vez es la comprensión de la
realidad y del mundo circundante, cobra un valor
muy alto. A partir de los primeros años y durante
toda la vida se aanza el proceso lector como una
de las ayudas más fuertes para la comprensión y
el acercamiento a los hechos que le acontecen al
ser humano. Enfrentarse a un problema cognitivo
también es enfrentarse a un mundo narrativo, a
una sucesión de acontecimientos que vertidos en la
experiencia brindan posibilidades de solución. Más
allá de una rutina, hay que ser audaz al adentrarse
en el campo desconocido de lo que se narra y de
lo que alguien narra, de lo que se cuenta y de lo
que alguien cuenta. La preocupación por la lectura
atañe a los educadores y debe reejarse en los
aprendices. También y de manera especial, debe ser
el centro de atención de las instituciones educativas
y de los gobiernos. Roldán (2011), escritor argentino
no niega que escribe para niños, quizás porque
los seres que tienen la potencialidad infantil del
asombro, de la curiosidad, de la transmutabilidad
son los que pueden maniobrar dentro de la ciencia,
la matemática, el arte y la vida diaria, encontrando
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facilidad en el acercamiento a la realidad. Roldán se
cuestiona sobre la posibilidad de cambiar la historia
y de aventurarse a leer:
Las bibliotecas compran libros. Las escuelas hacen
leer a los chicos. El gobierno envía cajas con más
libros. Las ferias en los colegios se vuelven cotidianas,
los chicos van a las mesas de libros y hacen una nueva
experiencia fundamental, tocan, dejan, miran uno y
otro, vuelven al primero, en n… (Roldán, 2011, p. 55).
La lectura se erige como el pilar fundamental
de acceso a cualquier área del conocimiento. La
apropiación de la realidad solo se puede efectuar
merced a lo que narran o cuentan los demás
de manera oral y escrita. La lectura como pilar
fundamental de información y de conocimiento
está al alcance de la mano, al hacer clic en un
aparato electrónico; el ser humano abre las puertas
de universos innitos, de autores y seres digitales
que se encuentran al otro lado, con el propósito de
entablar comunicación, de adquirir información, de
vender o comprar, entablar una relación, es decir,
de acceder al mundo de las redes de aprendizaje,
de enseñanza o sencillamente con el deseo de
compartir o adquirir conocimientos o sentimientos:
Podemos ver la web 2.0 como un hormiguero o una
colmena de abejas, en la que los obreros internautas
trabajan obedientemente para encontrar alimento,
procrear y sobrevivir. Conectados a la red con un
móvil inteligente o una tableta, actuamos como estos
insectos admirables cuando revisamos el correo, nos
guiamos con el GPS, compramos una entrada de
teatro, o hacemos clic en “Me gusta” en el muro de
un amigo. La tendencia actual de guardar datos en
la nube y de usar programas en línea (con Dropbox,
Google Docs, iCloud) todavía da más verosimilitud a
esta metáfora. (Cassani, 2012, p. 34).
En la segunda década del siglo XXI, en el aprendizaje
se han fortalecido más los lenguajes escritos,
grácos y digitales que el lenguaje oral sin que
este último pierda, ni su autonomía, ni su impacto.
Los procesos pedagógicos se apoyan en diversos
medios para fomentar la lectura y, paralelamente,
la curiosidad con la posibilidad de adentrarse en
mundos nuevos, en aventuras cognitivas que bien
pueden llevar a un puerto seguro o bien pueden
adentrar al lector en universos desconocidos. El
proceso lector y el acompañamiento de la lectura
darán las pautas y el alcance de la misma. La
investigación de los profesores Fernández, Harris y
Aguirre de la Universidad de Castilla, La Mancha,
España (2014), brinda un marco referencial sobre
las Propuestas para el tratamiento de la competencia
matemática y de ciencias a través de la literatura infantil.
Como objeto de su estudio se ja en la educación
infantil y primaria, dentro de un marco que
presenta facilidad de transferencia a estudiantes de
cualquier nivel educativo. Los análisis categoriales
que se desprenden de la investigación maniestan
una perspectiva didáctica que pretende aportar
herramientas para la enseñanza a través de una
metodología que, aparte de un análisis documental,
propone elementos de reexión sobre la lectura y la
interdisciplinariedad, referentes primordiales de la
didáctica de las matemáticas:
La lectura tiene una importancia primordial en el
proceso de aprendizaje del alumno. Mediante la
comprensión de mensajes escritos en cualquier estilo
podrá el alumno avanzar en su aprendizaje en la
escuela y fuera de ella… Consideramos importante
para los maestros la elaboración de propuestas para
trabajar despertando en el niño el gusto por la lectura,
la competencia matemática y de ciencias de manera
conjunta. Utilizando como referencia un libro, más
allá del libro de texto, pretendemos que se despierte
en ellos el gusto por aprender, ya sea porque le
gustan los libros, las matemáticas o las ciencias, y
que aquello que le gusta sirva como punto de partida
para despertar su curiosidad hacia lo que no le gusta
tanto. Pensamos que los libros de lectura son material
clave como medio para alcanzar el objetivo máximo
de interdisciplinariedad en la enseñanza. (Fernández
et al., 2014, p. 25).
Con esta misma perspectiva de análisis, otros
estudiosos se han dado a la tarea de indagar sobre
la importancia del mentor en la lectura. Así se tiene
que uno de los elementos centrales en el acceso a lo
que se lee es el mediador, el profesor, que inquiere,
adelanta, cuestiona, reexiona, acepta, comparte y
se adentra con el estudiante en el universo que se
lee: “Para quienes son mediadores entre los lectores
y los textos es enriquecedor pensar como lectura,
este momento, el de la charla sobre lo leído… Hablar
de los textos es volver a leerlos” (Bajour, 2009, p. 13).
Una vez que el docente es consciente de la
importancia de la lectura, en todas sus dimensiones
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en cuanto se reere al universo estético, tanto como
al cientíco y al cotidiano, se puede entender y
hacer comprender al estudiante que la cuestión de
acercarse al verso, al número o a la realidad varía
solo en la forma y que cada nivel requiere una
visión o un pensamiento en el cual se debe apoyar
el aprendizaje. De esta manera, el pensamiento
matemático no diere, esencialmente, del
pensamiento estético o del pensamiento racional.
Tienen accesos y formas distintas y deben ser
desarrollados en la medida en que faculten al ser
humano para que responda a un estímulo que así
lo exija. A partir de esta concepción se desprende
que no se puede hablar de las matemáticas como un
“coco” o un “mundo ajeno e inaccesible” al que solo
ingresan los genios o las personas que nacieron para
ello, sino que el problema radica en las deciencias
que se pueden generar en el aprendizaje lector y la
falta de concepción de un pensamiento matemático.
2. Método
Acorde con los estudiosos de la Hermenéutica
seleccionados como autores referenciales para
este trabajo (Gadamer, Beucheot, Eco), se puede
generalizar que para poder ser un buen conocedor
y un buen entendedor se tiene que ser un buen
intérprete. La armación podría no tener sentido
si no se acude a los fundamentos epistemológicos
básicos que recogen esta idea:
Una hermenéutica analógica, sin quedarse en la
univocidad positivista de una sola interpretación,
ni caer en la equivocidad relativista del sinnúmero
de interpretaciones, abre el margen de la verdad
interpretativa y deja que sean varias las interpretaciones
verdaderas y válidas, pero jerarquizadas según su
acercamiento o alejamiento de la verdad textual, y el
criterio de esa cercanía o lejanía no se da sólo desde el
lado del autor ni sólo del lado del lector, sino en el lado
de su conuencia en el texto. (Beucheot, 2004, p. 39).
El artículo responde a una metodología hermenéutica
exploratoria, descriptiva, analógica y comprensiva
que tiene como marco general la obra de Umberto
Eco. En el aspecto interpretativo se acude a “la
interpretación y el uso de los textos” (Eco, 1992a), a
los conceptos de obra abierta (Eco, 1992b) y “lector
modelo” (Eco, 1981). Se trabaja con las nociones
básicas: “un texto como un universo abierto”,
“el lenguaje no sirve para captar un signicado
único y preexistente… reeja lo inapropiado del
pensamiento”, y “la victoria del lector consiste en
hacerle decir al texto todo” (Eco, 1992a, p. 61).
El trabajo investigativo se centró en la selección y
el análisis de textos y autores que relacionarán las
matemáticas y la economía con la narrativa, de forma
consciente o inconsciente, y que utilizarán, desde esta
perspectiva, herramientas didácticas consecuentes
con la formación de un pensamiento matemático o
narrativo que lleve al aprendizaje exitoso.
Partiendo de la premisa que, tanto el estudiante como
el profesor son seres que, por su propia naturaleza,
están predispuestos para la interpretación, el
presente texto lleva a la búsqueda de la verdad, de
lo que se esconde detrás de un planteamiento con
la intención de intuir, conjeturar y reconstruir un
fenómeno, una lógica.
Se toma como base la obra Seis paseos por los
bosques narrativos (Eco, 1996) y se establecen
nexos hermenéutico narrativos que conducen a la
identicación de los pasos o elementos constitutivos
de un pensamiento narrativo, matemático.
3. Resultados y Discusión
Narrativa matemática
Cuando se habla de narrativa generalmente se suele
mezclar y enredar el término con literatura y, a su vez,
se confunde con el de escritura para determinada
ciencia o para el diario vivir. Así, se habla, por
ejemplo, de literatura médica, literatura del cuidado,
literatura química, entre otras, reriéndose a todo
aquello que concierne con las diversas disciplinas
o ciencias y con algunos aspectos necesarios en
la comunicación de cada profesión. Cada rama
del saber requiere utilizar el lenguaje como una
posibilidad de aprendizaje y de interacción. Basta
acudir, por ejemplo, al profesor argentino Gabriel
Vallejo, quien describe literariamente la estructura
de la ciudad en uno de sus estudios: Escenarios de
la cultura cientíca argentina. Ciudad y Universidad
(1882-1955) “como un espacio de la organización
social de sus habitantes y del sistema de poder
que la vértebra” (2007, p. 1). Vallejo establece una
relación clara entre el lenguaje histórico, estético y
arquitectónico para expresar su investigación y para
narrar literariamente cómo conuyen lo cientíco, lo
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arquitectónico, lo literario, lo histórico y lo cientíco
en la estructuración de una ciudad nueva, para dar
sentido al diario vivir y al comportamiento de sus
habitantes. Su trabajo “busca indagar el modo en
que esa cultura argentina tiende a confundirse con
los escenarios que la contienen, con la ciudad toda,
para que a través suyo sea reinvocada la necesidad
de sostener un orden” (Vallejo, 2007, p. 4).
El lenguaje de Vallejo maniesta su deseo de explicar,
de describir, de hacer comprender a los lectores
que existe un sitio, que ese sitio es bombardeado
por diversos elementos que se alinean y forman
un cuerpo sólido. El orden que se da en la urbe, la
forma de colocar las cosas y la disposición regulada
entre ellas va a marcar la forma de comportarse, va
a constituir su esencia.
Vallejo expresa de una manera estética, matemática,
histórica y arquitectónica, en suma ordenada, su
visión y su percepción de la ciudad, de la misma
manera, múltiples escritores, literatos y matemáticos
o profesores de cualquier área elaboran estrategias
y maneras de narrar, expresar, cuestionar,
enseñar o tratar de explicar el mundo estética y
matemáticamente. Así se tiene que la narrativa
desborda la forma tradicional de su signicado y
se inserta en el arte, la ciencia y la cotidianidad:
“Los profesionales que trabajan con gente suelen
codicar sus experiencias en forma narrativa”
(Gudmundsdoir, 2005, p. 61).
El ser humano requiere contar, narrar. Se cuenta lo
que acontece en la casa y en la institución educativa,
lo que ocurre en la calle, en el mundo externo, lo que
se visualiza estéticamente, lo que pasa en el ámbito
cientíco. También se relatan los más íntimos
sentimientos tanto como los acuerdos y desacuerdos
sociales. De esta manera, en cada instancia se
cuenta o se narra con un lenguaje apropiado a las
circunstancias. En el campo educativo, tanto el
personal que administra los procesos de gestión,
como los docentes y los estudiantes requieren
contar, tomar decisiones, plantear problemas y
llegar a soluciones:
En la escuela los estudiantes de todas las edades pasan
gran cantidad de tiempo escuchando relatos. Con
excepción de los más jóvenes y de los más gravemente
retrasados, también pasan mucho tiempo leyendo
relatos, a veces voluntariamente, pero más a menudo
porque les exigen hacerlo. Además, estas actividades
de escuchar y leer son con frecuencia sólo las fases
de un posterior encuentro en clase con determinada
narrativa. (Jackson, 2005, p. 25).
Los maestros trabajan en depurar las herramientas
didácticas para aplicarlas y llevar al estudiante a
apropiarse del mundo. Dentro de este horizonte,
la didáctica de las matemáticas implica un proceso
de enseñanza y aprendizaje que se debe valer
de múltiples estrategias para que exista una
comprensión y una inserción en el mundo de la
vida. La realidad con sus múltiples facetas obedece
a lineamientos que el hombre descubre y que el
profesor se encarga de acercar a los estudiantes.
La apropiación de las guras geométricas, de los
símbolos matemáticos y de los números requiere
diversas operaciones mentales que deben ser
apoyadas pedagógicamente.
Didáctica y juego
El profesor Gadamer (1900-2002) dedicó toda su
vida a exponer las posibilidades del entendimiento,
el signicado y el mensaje del lenguaje, e intentó
trazar una línea de unión entre los procesos y
los productos estéticos para enlazar las formas
precisas que muestran el universo de la ciencia y
de la técnica. En este camino, delineado en sus
escritos, se aborda la concepción de un sujeto capaz
de introducirse en los temas que se le presentan,
es decir, de una persona que puede conocer
e interpretar un saber. Así, un individuo que
aprehende, supera el momento básico de observar
las cosas, de tomarlas sencillamente y es capaz
de comprenderlas y hacerlas suyas. El proceso de
acercarse a los símbolos, en este caso matemáticos,
conlleva una experiencia interpretativa y mística.
Gadamer (2012) en su texto Los límites del lenguaje
trabaja la comprensión infantil del símbolo, a partir
de una anécdota sobre su hijo, el cual, antes de hablar
se detenía a observarlo mientras él leía el periódico.
Un día, el pequeño se quedó mirando la gura de
un “macho cabrío abstracto” y la señaló expresando
un término acerca del mismo y haciendo meditar
a Gadamer sobre la comprensión y el manejo que
se desarrollaba en el infante, llevando al lósofo a
cuestionarse:
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La didáctica y el encanto de las Matemáticas
¿Cómo es la comunicación que sucede en el aprendizaje
del lenguaje? Todavía no puede ser hablar. Sin duda,
se trata de un ejercitarse con otros. Obviamente, el
adulto está en posesión de una, en cierto sentido,
plena capacidad lingüística y el niño no la tiene
aún. Pero, por otra parte, un verdadero comunicarse
sólo es posible cuando se trate de un auténtico juego
de pregunta y respuesta, de respuesta y pregunta.
(Gadamer, 2012, p. 141).
Todos los individuos se enfrentan al proceso lúdico
del aprendizaje y la comunicación. En palabras de
Gadamer eso es lo “que conduce a una construcción
en común del entendimiento mutuo y la
comprensión del mundo” (2012, p. 141). El individuo
que se enfrenta a determinados procesos simbólicos
desarrolla relaciones mentales que lo insertan en el
universo del juego.
El juego y la esta constituyen en Gadamer un
elemento primordial para que el ser humano
comprenda el arte y el mundo. Juego y esta se
vuelcan, se entienden, en su sentido etimológico
como aquello que conduce al hombre a otros estados,
a una disposición especial frente a un objeto, a un
hecho o a un suceso. Participar del juego lleva a que
el individuo lo sienta suyo y vea que el objeto de
estudio se encuentra cerca. El proceso didáctico que
comporta el ser partícipe del juego como agente y
como sujeto implica la aprehensión del objeto de
conocimiento. Para Gadamer el juego constituye
un elemento vital, una forma primordial de ver
la existencia, la manera esencial que faculta al ser
humano para darse cuenta del “sentido de la vida”
(Gadamer, 1996).
El juego, como elemento importante dentro de la
didáctica, hace que el profesor y el estudiante se
inserten en un universo que, si bien tiene unas
reglas determinadas, puede llevar al ser humano
a otras dimensiones y facultarlo para establecer
relaciones, asociaciones y procesos de búsqueda y
de acción diversos a los convencionales. Ya en 1938,
Huizinga (1872-1945) consideró que el juego va más
allá de los cánones establecidos. Con el juego se
tienen funciones que no se pueden “determinar por
completo ni lógica ni biológicamente” (Huizinga,
1996, p. 19). Similar a la conexión que establece
Huizinga entre juego y cultura se puede acudir a
la asociación entre juego y aprehensión cognitiva,
entre juego e inserción en el universo matemático:
“El juego no es la vida “corriente” o la vida
“propiamente dicha”. Más bien consiste en escaparse
de ella a una esfera temporera de actividad que
posee una tendencia propia” (Huizinga, 1996, p. 20).
En el mismo orden de ideas, Roger Caillois (1913-
1978) valiéndose de los artilugios del secreto, los
juegos y las máscaras, trata de darle un valor especial
a la actividad lúdica. Si bien es cierto que el ser
humano puede entregarse a la acción del juego de
una manera libre, ello no le resta que, por lo menos,
tenga que supeditarse a un tiempo y a un lugar.
Lo anterior supone, a su vez, una reglamentación
básica y una irrealidad o una cción. La creación
de un mundo de esas características se reviste con
aristas determinadas por la competencia, el azar, el
simulacro o el vértigo. Las categorías fundamentales
planteadas por Caillois bien pueden enmarcar el
mundo de los negocios, la estructura empresarial o
el simple contacto personal. Por ejemplo, al referirse
al Agon (azar), Caillois maniesta que las relaciones
y los procesos que se dan en el juego determinan las
ganancias y los ganadores:
Todo un grupo de juegos aparece como competencia,
es decir, como una lucha en que la igualdad de
oportunidades se crea articialmente para que los
antagonistas se enfrenten en condiciones ideales con
posibilidad de dar un valor preciso e indiscutible al
triunfo del vencedor. (Caillois, 1994, p. 43).
La siguiente categoría que trabaja Caillois se opone
a la primera y recobra la idea griega del destino
que viene prejado por los dioses. Así, con el alea
el ser humano se abandona a las fuerzas externas
y deja que ellas determinen el transcurso del juego:
“El agon es una reivindicación de la responsabilidad
personal, el alea una renuncia de la voluntad, un
abandono al destino” (Caillois, 1994, p. 49).
Ya sea con el agon o con el alea se plantea la creación
de un mundo perfecto, donde las circunstancias
quedan establecidas, donde las “oportunidades
y méritos” pasan de una aparente confusión a
un mundo ilusorio y perfecto, a una mesa donde:
“Todos deben gozar exactamente de las mismas
oportunidades de demostrar su valer o, en la otra
escala, exactamente de las mimas oportunidades de
recibir un favor” (Caillois, 1994, p. 52).
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La didáctica privilegia, como uno de sus elementos
primordiales, la creación de situaciones, modos
y vivencias que, de diversas formas, busquen dar
respuesta a los cuestionamientos o las problemáticas
con la nalidad de suscitar en el estudiante el
aprendizaje. Dentro de la concepción del juego,
Caillois denomina a este proceso: Mimicry, un
estado en el cual se acepta la ilusión del juego y se
pasa a ser una parte constitutiva del mismo. “El
juego puede consistir no en desplegar una actividad
o en soportar un destino en un medio imaginario,
sino en ser uno mismo un personaje ilusorio y
conducirse en consecuencia” (Caillois, 1994, p. 52).
Los planteamientos de Caillois se adaptan al
pensamiento que debe formarse y forjarse un
aprendiz de economista, un negociante, un
administrador, en suma un gestor, el cual antes
que aprender fórmulas o tratados debe “pensar”
económica o administrativamente, como negociante
o como gestor. La tarea docente es introducir al
estudiante e introducirse él mismo en el universo
económico o administrativo y establecer los límites,
los alcances, los riesgos, las posibilidades de atacar
el problema, aún antes de que se formule. Caillois
plantea una última categoría, denominada ilinx, la
cual consiste en tener todos los elementos posibles
y adentrarlos en una especie de licuadora, un
“remolino de agua” un escenario sometido a fuerzas
temibles o a extraños caprichos (Caillois, 1994,
p. 64). En otras palabras, el riesgo, la posibilidad
de adentrarse en dimensiones desconocidas y de
estar sujeto a elementos contextuales, hace que se
navegue por ríos tumultuosos. Aquí, la curiosidad,
el asombro y la aventura marcan el sendero. Una
vez que se tenga plena conciencia de las categorías
del juego: agon (competencia), alea (suerte), mimicry
(simulación) e ilinx (remolino, vértigo) se debe tomar
conciencia de la necesidad y la exigencia de la regla
o del ordenamiento: “Las reglas son inseparables
del juego en cuanto este adquiere lo que yo llamaré
una existencia institucional” (Caillois, 1994, p. 64).
Visto el panorama anterior, al profesor se le
abren diversas posibilidades de forjar un mundo
matemático por el cual debe deambular el aprendiz
con unas categorías y unos criterios básicos que lo
faculten para crear relaciones y proponer soluciones
frente a un problema dado.
Economía y ética
La economía como ciencia social obedece a unas
leyes, a unos hechos o sucesos susceptibles de ser
analizados, a unos criterios metodológicos y a unas
prácticas sociales que le dan unas particularidades
investigativas y cientícas. Aunque la teoría
y los planteamientos escapan a las formas de
experimentación se suele acudir a los hechos
experienciales y a las teorías que se desprenden de
estos para formular hipótesis, establecer variables,
métodos y estrategias que permitan confrontar y
contrastar datos y comportamientos que expliquen
la realidad, y permitan aprehender instrumentos
mínimos de control, validación y acercamiento al
objeto que se estudia.
El estudio económico supone un trabajo
interdisiciplinar, primordialmente histórico,
sociológico, político, biológico y ético. Entrar en
el ámbito del aprendizaje, la investigación y la
enseñanza implica estrategias que dependen
del contexto. Históricamente, en el pensamiento
occidental, desde los primeros esbozos aristotélicos
sobre el n último del hombre, se habla de la
felicidad, un concepto que une el bienestar
individual con el bienestar social, con el n de la
polis. Desde esta perspectiva se establece un claro
pensamiento acerca del bien y del vivir bien, que es
lo que acompaña al ser humano, su casa y su ciudad.
En este punto, se puede acudir al profesor Juan
Carlos Ossandón, estudioso de Aristóteles y quien
hace un discernimiento al respecto para concluir
los aspectos determinantes de la felicidad del ser
humano, resumidos en tres tesis, las que a su vez
tienen como punto de partida la ética a Nicómaco:
1. “La vida práctica consiste en acciones, que se
realizan siempre con vistas a un n (cfr., entre
otros muchos lugares, EN I 1, 1094a 1ss.).
2. Los nes de la vida práctica se ordenan
jerárquicamente, de manera que hay un n que
se busca por sí mismo (cfr., EN I 2, 1097a 18ss). A
este n todos le llaman felicidad (cfr., EN I 4, 1095a
17-19) y es por denición perfecto y autosuciente
(cfr., EN I 7, 1097a 15-b 21).
3. Para determinar en qué consiste la felicidad, es
preciso atender a lo propio del hombre, el ejercicio
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de la razón. Así, la felicidad debe consistir en la
actividad según la razón, añadiéndole la excelencia
de la virtud, es decir, en la actividad virtuosa
según la razón (cfr., EN I 7, 1097b 22-1098ª 18)”
(Ossandom, 2001, p. 119).
Aristóteles sustentaba la ética en la felicidad. Desde
esta perspectiva, para el estagirita, la economía
estaba enfocada desde el valor que le podía atribuir
el individuo a su propio patrimonio, como un arte y
un medio que propugnaba por el n principal que
era la felicidad. A lo largo del tiempo, la economía
estuvo unida a diversas disciplinas y durante el
siglo XX se propugnó por su consolidación como
una ciencia que busca modelos y paradigmas, con
el n de abordar los problemas estructurales de
la sociedad: desigualdades y manejo de recursos,
primordialmente. En las primeras décadas del
siglo XXI, el abordaje a las diversas problemáticas
sociales, necesariamente requiere de la ayuda
de la Economía, con estrategias y metodologías
interdisciplinares. Las matemáticas se elevan como
un instrumento imprescindible en esta perspectiva
y recuperan su papel.
Con base en el planteamiento anterior se suscita
una problemática que concierne con el aprendizaje,
la investigación y la enseñanza de las matemáticas
y de la economía. Las instituciones educativas se
preocupan del asunto; los currículos pretenden
insertar en los planes de estudios de los diversos
programas, áreas, campos, asignaturas y prácticas
concernientes con la gestión, la innovación, la
creación de empresas, la formación de líderes, los
trabajos de equipo, los grupos concentrados en
investigaciones, entre otros elementos que a su
vez suscitan principios, proyectos y productos que
respondan a los problemas que aquejan la sociedad.
Profesores y especialistas se preocupan por
brindar las estrategias básicas para desenvolverse
en un mundo económico y estudian principios,
métodos y estrategias que propugnan por una
nueva visión de la gestión, la administración y la
economía, desde diversos ángulos. Por ejemplo, el
profesor Peter F. Drucker (1909-2005), considerado
como uno de los transformadores del pensamiento
económico y administrativo en el siglo XX plantea
que el concepto de managment es determinante en
los ámbitos de la economía y la administración. En
la introducción a su obra El Managment rearma la
idea que el gerente de una empresa debe estar al
tanto de todo lo que pasa en ella, de “la organización,
de su misión de sus valores, de sus objetivos,
de su rendimiento” (Drucker, 2002, p. 11). De la
misma manera, tiene que estar atento a las fuerzas
exteriores que inciden en el comportamiento de la
institución, lo mismo que debe estar aprendiendo
e innovando constantemente. Una vez que se logra
el máximo puesto como directivo o como empresa
se debe propugnar por mantenerse en ese nivel
con un compromiso especial. El hecho de llegar
a lo más alto, de tener los estándares superiores
obliga a que se trabaje permanentemente porque
el peligro del derrumbamiento es mayor: “Desde
arriba sólo hay un camino fácil, y es el que lleva
hacia abajo” (Drucker, 2002, p. 17). El gerente de una
empresa está en la obligación de participar con “los
otros” en el desarrollo, la prospectiva, el impulso
y la recreación permanente de la misma. Todo lo
anterior se encuentra bajo el manto de la “ética de
la responsabilidad”, la cual cobija al grupo del que
hace parte el gerente. Así, el gerente se convierte en
un “miembro” del grupo que lidera el proceso y que
es responsable del éxito del mismo. En su obra The
Practice of Managment, publicada en 1954, Drucker
dio los lineamientos que debe seguir un gerente, las
propiedades del gerenciamiento y la totalidad que
envuelve tanto al uno como al otro.
Los elementos didácticos que debe tener
presente un docente para la formación de un
gerente, siguiendo a Drucker, están en el orden
de formar una persona con conciencia de su
trabajo, que aprenda permanentemente, atento
a las contingencias del contexto, que utilice
la tecnología y los avances del momento y, de
manera particular que tome decisiones ética
y responsables, sintiéndose “miembro” de un
equipo, líder en determinado campo.
Umberto Eco como mentor de un paseo didáctico
Narrar es informar, contar, recontar y revisar
lo acontecido. En el caso de las matemáticas, la
narración y la interpretación de lo planteado implica
una estructuración mental en la cual interactúan
formas racionales e imaginativas que establecen
caminos de relación en pro del resultado o la
solución a determinado problema o planteamiento.
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Eco (1932) semiólogo italiano, enseña a través de su
vasta obra a degustar la lectura y a adentrarse en
la narración, e invita a reconocer la importancia del
punto de vista del lector tanto como a las múltiples
posibilidades de interpretación que genera un
hecho, un fenómeno o un problema. También incita
a gozar con la Edad Media y las formas de expresión
dadas en este período, los intríngulis conventuales
y de la vida monacal, los vericuetos del lenguaje,
los signos y los símbolos que se van generando y
cargando de signicado.
Si bien es cierto que la erudición de Eco y algunos
apartes de sus obras pueden aparecer confusos
y obligan a una consulta mayor, estas formas de
presentación se vuelven didácticas, a medida que el
lector se adentra en el texto y a medida que se agiliza
la comprensión, y se avivan la curiosidad y el deseo
de conocer. Una de sus inquietudes permanentes,
en cuanto la formación y la investigación se centra
en la circunscripción del problema, en la precisión
del objeto, en su reconocimiento y denición:
El término objeto no tiene necesariamente un
signicado físico. También la raíz cuadrada es un
objeto aunque nadie la haya visto nunca. La clase
social es un objeto de investigación, aunque alguno
pudiera objetar que solo se conocen individuos o
medias estadísticas y no clases en sentido estricto.
Pero, según esto tampoco tendrían realidad física la
clase de todos los números enteros superiores al 3725,
de la cual, sin embargo, un matemático, se podría
ocupar estupendamente. (Eco, 2010, p. 43).
Si el docente o el estudiante tienen denida la
meta de su estudio o de su investigación, tienen
conciencia del problema, bien puede adentrarse en
la situación que se le presenta. Naturalmente que
es probable que, en la mayoría de las ocasiones, al
abordar un problema, la persona que lo enfrenta
no tenga las herramientas o el conocimiento que
faculte su resolución. En ese instante es donde
aparecen o deben aparecer las operaciones básicas
de relación, conexión y creatividad, las cuales deben
estar cultivadas (hablando metodológicamente) con
el propósito de responder ante cualquier situación.
En este sentido, el profesor o el aprendiz dene los
pasos para el abordaje “en base a unas reglas que
nosotros mismos establecemos o que otros han
establecido antes” (Eco, 2010, p. 43). La solución
de un problema no se da, si no se facilita el ámbito
para ello. Los actores del proceso tienen que estar
familiarizados con la solución de los problemas, con
su contrastación con la realidad, así esta realidad
toque los puntos más abstractos del conocimiento.
Poner la economía, las matemáticas u otro ámbito
cientíco al alcance de la mano no es tarea fácil,
como no lo es la creación o la interpretación de un
texto estético. Se requiere de un trabajo constante y
de un acercamiento permanente a la problemática.
De la misma manera, el profesor Eco, facilita el
acercamiento a las dudas más profundas sobre
la escritura, la lectura y la misma existencia. Su
libro Seis paseos por los bosques narrativos apunta,
primordialmente, a uno de los factores nucleares
en la resolución de un problema: la lectura y por
ende, el lector. Así como Eco introduce al auditorio
en un bosque, con la metáfora del paseo y con la
operación de la relación, de forma similar el profesor
y el estudiante que se abocan a un problema
matemático o de otra índole, tienen que elaborar un
mapa mental que los lleve a salir del meollo, que les
brinde alternativas de solución, que los faculte para
que no se extravíen en el camino elegido. Con esta
perspectiva, las seis conferencias que el semiólogo
italiano diera en las Norton Lectures (Harvard,
1992-1993) se convierten en un marco referencial
que ayuda a entender algunos de los elementos
didácticos que favorecen el abordaje de un análisis
matemático.
1. Abrir la puerta
En principio, tanto el profesor como el estudiante
deben acudir a los elementos didácticos con los
que se aborda un fenómeno, un texto, una realidad
nueva o un problema: observar, visualizar, leer y
comprender. Estas acciones constituyen el eslabón
básico de la cadena que llevará a la respuesta. En este
punto suele presentarse el inconveniente primordial
en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas:
no se sabe leer, no se tiene la disciplina para hacerlo,
no se degusta, o no se labora en lo que se quiere leer.
Si esto se da de entrada, abordar el problema se va
a volver tedioso, dicultoso o imposible. De manera
intencional o no, Eco llama a su primer ensayo
Entrar en el bosque (Eco, 1996, pp. 7-33) y si bien la
alusión a su contemporáneo el escritor Italo Calvino
y el tratamiento del escrito apunta, eminentemente,
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al proceso narrativo, su trasfondo se enfoca a abrir la
puerta, a crear la expectativa frente a una situación
nueva, a un proceso didáctico y de aprendizaje.
Eco retoma la lectura y el papel del lector modelo,
la tarea de una persona que es capaz de insertarse
en el juego, de establecer relaciones, de formarse un
contexto primario. Así, maniesta que el lector está
sujeto a una pasión que lo impulsa a jugar un juego
que esta “determinado por el tipo de operaciones
interpretativas que aquella voz le pide que lleve a
cabo: considerar mirar, ver, encontrar parentescos y
semejanzas” (Eco, 1996, p. 33).
Lo que se pretende mostrar en este aparte es que la
narrativa se encuentra ligada a la forma de establecer
un primer acercamiento al conocimiento, en cualquier
lectura que se realice, desde la forma elemental de
observar la realidad, hasta la manera compleja de
interpretarla a través de textos cientícos matemáticos
o de representaciones estéticas. En este orden de ideas,
tratar de resolver un problema matemático implica
tener un elemento esencial: la lectura, el cual debe
darse de forma natural, aunque previamente suponga
una disciplina o una manera simple de dedicarse a
ella. Si un error en la formación del espíritu lector es
no saber leer, no querer o no gustar de la lectura, el
otro error consiste en tratar de imponer la forma de
lectura o la lectura misma. Si no se tiene el hábito o
el gusto por ella, debe fomentarse o cultivarse, de lo
contrario es muy difícil pasar al siguiente plano.
Con esta perspectiva, tanto el docente como el
estudiante deben ver, en el sentido estricto de
la visualización y del entendimiento: percibir
el planteamiento matemático, el problema, para
asimilar los aspectos básicos, avistar el espacio y
los elementos que lo integran, establecer relaciones
básicas y trazar un esquema mental, mediante el
cual se reconozcan las formas y se cree una primera
imagen situacional. En este punto, los dos agentes
educativos encuentran el objeto, aunque este sea
difuso y esbozan su primera impresión, la cual es
determinante; de lo contrario no habrá aprehensión,
conocimiento básico, identicación, relación (con
algún problema anterior similar) y los pasos
siguientes serán muy complejos.
Desde los primeros acercamientos del ser humano
a la comprensión del mundo, como el simple hecho
de ver los animales y desarrollar las operaciones
mentales para “contarlos” y luego para narrar el
hecho, para pasar, posteriormente, a que un escucha
entendiera y nalmente, que respondiera al mensaje
que se le planteaba, tuvieron que evolucionar las
formas de comprensión y del entendimiento escueto
del mundo exterior y su inserción en el universo
interior del hombre, hasta establecer elementos
más complejos como los de análisis, diferenciación,
síntesis y juicios de valor:
Al mismo tiempo, el desarrollo de los números y de
las letras estimuló tanto la economía antigua como
las habilidades intelectuales de nuestros antepasados.
Por primera vez se podía contar “el ganado”, sin que
las ovejas, las cabras o el vino estuvieran presentes. El
precursor del almacenamiento de datos, un registro
permanente cobró vida acompañado de nuevas
capacidades cognitivas. (Wolf, 2008, p. 45).
Al volver a los planteamientos de Eco, el semiólogo
italiano maniesta que, después de mirar lo que está
delante, la persona que se adentra en el bosque tiene
que elegir el sendero, trazar su ruta. El aprendiz
que se inserta en el problema bosqueja la situación,
inclusive es capaz de intuir la solución. Desde
esta perspectiva se puede acudir a otra autoridad,
el profesor Raymond M. Smullyan, músico y
matemático norteamericano. En uno de sus libros se
aprecia que el acceso al asunto o al estudio se puede
dar desde el análisis de un problema elemental. Es
decir, la iniciación del aprendizaje debe empezar
con ejemplos amigables que relacionan la realidad
con las posibilidades de interpretarla de manera
sencilla. Así, para entrar en materia, se recomienda
una serie de ejercicios didácticos que despierten la
curiosidad matemática y por supuesto, agudicen
la visualización de la situación: “Para aquellos de
vosotros que os importa hablar correctamente
¿cómo se debe decir la yema es blanca o las yemas
son blancas?” (Smullyan, 2007, p. 27).
El rápido análisis del problema puede llevar a varias
respuestas equivocadas centradas en el singular o el
plural de la frase y no en el elemento sustancial que
va más allá de la pregunta, cuya respuesta correcta
es que “en realidad, las yemas son amarillas”
(Smullyan, 2007, p. 34). Este ejercicio simple ratica la
importancia de “ver”, de observar el planteamiento
y de trazar unas relaciones que deben llevar a un
primer análisis, de una manera segura.
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2. Adentrarse en el bosque
Eco continúa con su segundo ensayo Los bosques
de Loysy (Eco, 1996, pp. 35-56) e invita al lector a
jugar, a intuir una estrategia, una herramienta para
abordar el cuestionamiento. En este aparte empieza
la profunda relación didáctica entre autor y lector,
entre profesor y discípulo. El problema tendrá
alguna solución, habrá que buscar los caminos:
Hay dos formas de pasear por un bosque. La primera
nos lleva a ensayar uno o muchos caminos (para salir
lo antes posible, o para conseguir llegar a la casa de
la Abuela, o de Pulgarcito, o de Hänsel y Gretel); la
segunda, a movernos para entender como está hecho
el bosque, y por qué ciertas sendas son accesibles y
otras no. (Eco, 1996, p. 37).
Eco maniesta que al igual que existen “las dos
formas de pasear” (1996, p. 37) también existen
“dos modos para recorrer un texto” (1996, p. 37).
Así, el lector, que se asemeja al aprendiz, puede ser,
en primera instancia un “lector modelo de primer
nivel” a quien solo le interesa saber cómo acaba
una historia, pero también existe otro lector que es
el que más interesa en el proceso de la enseñanza
y el aprendizaje de las matemáticas, aquel que
Eco denomina “el lector modelo de segundo
nivel” (p. 37), el mismo que se detiene y lee varias
veces, que es capaz de intuir el camino, de unir
y claricar el bosquejo, de saber a dónde quiere
ir el autor (profesor, texto), qué marca el contexto
y con qué herramientas se puede dar el abordaje.
En este punto el lector llega a “comprender” y
pasa a elaborar una estrategia para enfrentar el
problema. El papel didáctico del docente implica
una tarea extra: motivar y ejercitar el cerebro de los
estudiantes para que se familiaricen con soluciones
“lógicas” con tareas que derivan en la construcción
de un pensamiento matemático, desde un lenguaje
común y desde un paso de éste, al mundo de los
signos, los símbolos y las abstracciones.
Identicar el camino no es fácil, como no lo es hallar
el objeto que se busca. Bien lo dice el profesor de
matemáticas y lógica, Charles Ludwig Johnson, más
conocido como Lewis Carroll, uno de los escritores
más populares en la literatura infantil, quien
muestra de diversas formas las maneras de enseñar
y aprender de una forma lógica. En principio, la
elección del sendero por el que se debe transitar
implica un desarrollo mental primordial. Carroll
maniesta la importancia del abordaje didáctico
sobre el sendero que se debe transitar, el camino, el
método y la estrategia para llegar a un objeto. En el
capítulo VI de la obra Alicia en el país de las maravillas,
el personaje principal, Alicia, le pregunta a otro de
los personajes: el Minino de Chester, cuál camino
debe tomar para salir del bosque y el Minino le
responde: “Eso depende mucho de a dónde quieres
ir” (Carroll, 1992, p. 32). Alicia le maniesta que no
le preocupa a dónde ir, es decir que la respuesta o
el alcance del objeto, la meta o lo que se encuentra
a la salida, no es lo determinante para ella. Así, el
Minino le responde: “Entonces poco importa el
camino que tomes”. Alicia deduce que el camino
es efectivo, siempre y cuando “conduzca a alguna
parte” (Carroll, 1992, p. 32). La alusión a este
fragmento literario, invita al profesor a que colabore
con su discípulo en la elección de una táctica
adecuada para enfrentar la situación problemática
que se le plantea, de la misma manera como lo lleva
a que inserte en su pensamiento que la elección del
camino o de la estrategia es primordial para llegar
a la respuesta.
3. Conocer el bosque. Establecer estrategias y
canales básicos. Intuir y escribir
Eco irrumpe más en el bosque y en su tercer
capítulo: Detenerse en el bosque (Eco, 1996, pp. 59-
82) hace un llamado, tanto al autor (profesor),
como al lector (estudiante) para que se aborde la
lectura insertándose en el texto, haciendo parte,
en el caso del contexto matemático, del problema,
del “desarrollo de las acciones”, con la idea de ir al
fondo, al meollo del asunto. Al tratar de analizar
el lenguaje, el lector puede acudir a ciertas formas
que brinda el texto, el contexto o el autor, como la
analepsis: “cuando se rompe el orden cronológico
sucesivo del relato para evocar hechos sucedidos
en época anterior al que se encuentra la historia”
(Marchese y Forradellas, 1994, p. 170).
La gura de la analepsis, recurrente en la narrativa
literaria puede irrumpir en el pensamiento y en
la lectura matemática, invitando al estudiante a
realizar un ejercicio que supone una observación
básica, adentrarse en el terreno y conjeturar o
formar determinadas opiniones o juicios acerca del
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La didáctica y el encanto de las Matemáticas
problema. Eco alude a que el texto le impone un
determinado ritmo al lector y además lo invita a que
sea partícipe del mismo: “Si como hemos dicho, un
texto es una máquina perezosa que le pide al lector
que le haga una parte de su trabajo, ¿por qué un texto
se detiene, desacelera, toma tiempo?” (Eco, 1996, p.
59). El aprendiz debe tener presente que el problema
no puede ser abordado aceleradamente, exige un
análisis, una conjetura. Dicen los profesores Álvarez,
Ángel, Carranza y Soler-Álvarez (2014) en su artículo
Actividades matemáticas: Conjeturar y argumentar, que
estas dos operaciones se constituyen en “procesos
fundamentales” y que “conjeturar corresponde
al proceso de formular y validar conjeturas, y
argumentar al proceso de hacer inferencias que se
deducen de una información inicial” (Álvarez et al.,
2014, p. 75).
El ritmo y las posibles dudas, relaciones, impaciencias
y demás manifestaciones del lector o del estudiante
se hacen patentes en este punto. De esta forma,
se hace necesaria la construcción de un esquema
mental, de un mapa propio que llevará a la búsqueda
de salidas, a pasear por el bosque con herramientas
en la mano. Si en el paso anterior se abría la puerta y
se planteaba la posibilidad del camino para llegar a
la meta, en este paso, persiste la idea de encontrar el
camino o de fabricarlo, siempre de una manera feliz,
sin sufrimiento, es decir con agrado. Aquí hay un
rompimiento claro con los esquemas tradicionales
que antes que al placer apuntan al sufrimiento del
proceso que culmina con la amenaza de la nota o del
castigo si no se encuentra el camino o si no se llega al
otro lado. Eco, al comentar la novela de Los Novios de
Manzzoni que, según lo cuenta fue una imposición
de lectura para muchos niños contemporáneos suyos,
en la escuela, e instrumento doloroso de aprendizaje
para él no lo fue por cuanto leyó la obra antes de
ingresar al proceso educativo, por una sugerencia
de su padre. Respecto de la construcción y el
establecimiento de relaciones, conjeturas y posibles
argumentaciones Eco maniesta que:
El principio de Los novios no es un ejercicio de
descripción del paisaje: es una manera de preparar al
lector a que lea el libro…si se lee bien se da cuenta uno
de que Manzoni está dibujando el mapa, está poniendo
en escena un espacio. Mirando al mundo con los ojos
de su creador, Manzoni le hace la competencia: está
construyendo su mundo narrativo, tomando prestados
aspectos del mundo real. (Eco, 1996, p. 82).
En efecto, la elaboración mental y el establecimiento
de las relaciones mentales y prácticas que pone el
estudiante en escena lo facultan para la resolución
del problema. Crear un pensamiento matemático
también es conjeturar y enriquecer la sapiencia
con ejercicios permanentes, con construcciones,
adentrándose en el bosque.
La irrupción en la problemática implica posibilidades
diversas y supone un pacto cognitivo y narrativo
entre el docente o el texto y el estudiante, un acuerdo
que Eco denomina un pacto ccional, merced al cual,
la persona que entra a resolver el problema acepta
que lo planteado es verdad. El capítulo cuarto: Los
bosques posibles (Eco, 1996, pp. 83-105) se constituye en
un marco especial que invita a la selección de una
táctica y una estrategia posibles para hacerle frente
a la problemática, teniendo en cuenta la experiencia
acumulada en la práctica de los ejercicios y con el
bagaje cognitivo. Para la estrategia de solución deben
tenerse en cuenta los elementos del problema y
determinar la aplicación sistemática. Si la vericación
de la respuesta no concuerda se debe elegir un nuevo
camino. El error tradicional es el castigo por llegar a
este punto de forma equivocada, sin precisar que el
error puede estar en la mala elección estratégica. La
formación del pensamiento matemático exige probar,
experimentar, ejercitarse hasta alcanzar la solución.
Ejercitarse supone practicar constantemente. En este
punto también interviene de forma clara la narratividad.
Una vez hecha la observación, después de visualizar
se debe plasmar grácamente o por escrito lo que se
va alcanzando. La consolidación del pensamiento
matemático exige el ejercicio permanente plasmado
por escrito, por gráca, esquema, esbozo o croquis,
en suma, por una representación que manieste
claramente la apropiación:
En esta etapa de la actividad matemática no es
necesario hacer uso de un lenguaje especializado, pero
sí se considera pertinente escribir las observaciones o
la conjetura en un lenguaje que sea compartido por la
comunidad académica en la que se encuentra inmersa
la persona que está enfrentándose a la tarea. Ahora
bien, una forma particular de expresar lo visualizado
es a través de la simbología propia del lenguaje
matemático; con ello se busca expresar de manera
abreviada las características identicadas en el caso o
casos observados. (Álvarez et al., 2014, p. 79).
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4. Del pensamiento narrativo
En el capítulo quinto: El extraño caso de la Rue
Servandoni, Eco profundiza en la construcción del
pensamiento narrativo al evocar el problema de las
Falklands-Malvinas en cuanto las noticias sobre el
tema, desde los puntos de vista argentino e inglés.
Se detiene en las posibilidades de interpretación
que se le plantean al ser humano cuando enfrenta
cualquier problemática y luego avanza en el
recuento sobre el hecho suscitado de las islas,
el cual deja en el lector un cuestionamiento que
forma parte del pensamiento constructivo y de la
posibilidad interpretativa: “¿Qué pasa cuando en un
texto narrativo el autor pone, como un elemento del
mundo real (que le hace de fondo al mundo real de
la cción), algo que en el mundo real no existe y no
se ha vericado nunca?” (Eco, 1996, p. 112).
La elaboración mental que se fabrica a partir de las
relaciones que se generan con el planteamiento del
problema surgen con una visión estética de manera
similar a como brotan de una manera cientíca.
Para dar fuerza a la interpretación Eco acude a otra
estrategia, la elaboración gráca que conlleva el
siguiente asunto tratado en su charla (capítulo quinto)
trayendo a cuento otro relato en la voz de Dumas y
su novela Los tres Mosqueteros. Acto seguido acude
a otras citas eruditas, siempre con la concepción
de mostrar el lector empírico, el lector modelo, el
lector que se enfrenta a una situación y que posee
una amalgama de experiencias y una potencialidad
para enfrentar los hechos, poder inferir la verdad
del texto, la verdad del problema, sus límites, y las
posibilidades de interpretar y de hacer conjeturas:
“La competencia Enciclopédica que se le pide al
lector (los límites puestos a la amplitud ilimitada de
la Enciclopedia maximal que ninguno de nosotros
poseerá jamás) está circunscrita por el texto” (Eco,
1996, p. 125).
En otras palabras, el planteamiento del problema
unido a las experiencias, conocimientos y
posibilidades de relación del lector están dadas y
se ciñen a lo planteado. Llegar a intuir la respuesta,
a construirla, a dar la solución es adentrarse en
el mundo narrado, en el mundo matemático. Eco
avanza en su relato y en sus cuestionamientos,
pasando de la conjetura, de la posibilidad
interpretativa a la identicación del autor, del texto
en su esencia, en el caso del problema, al núcleo
básico que dispara la posibilidad de respuesta:
“Hay una regla aurea para todo criptoanalista o
descifrador de códigos secretos, y es decir, que todo
mensaje puede ser descifrado con tal de que se sepa
que es un mensaje” (Eco, 1996, p. 127).
Con el capítulo sexto: Protocolos cticios, Eco juega
con el cierre, con los límites del mundo convocado,
con las posibilidades de visualizar el problema
completamente, de plantear la posibilidad de
enfrentamiento entre el mundo real y el cticio,
entre la realidad y la fabricación para entenderla:
“¿Por qué no intentar construir mundos narrativos
que sean complejos, contradictorios y provocadores
como el mundo real?” (Eco, 1996, p. 131).
Eco acude al interrogante permanente de duda para
cerrar sus paseos: ¿por qué? Este cuestionamiento
expresa en los infantes el pensamiento agudo,
el mismo que está en pleno furor y que se debe
enriquecer constantemente. Es común oír a un niño
preguntar que si puede contar un cuento con la
misma naturalidad de proponer que quiere contar
números, cifras, muchos de ellos preeren escribir.
Otro ejemplo, una pregunta usual que también
suele hacerla un joven o un adulto se enfoca hacia
la posibilidad de poder contar números hasta cien
o hasta mil o hasta un millón. El comentario podría
sonar trivial, pero el dato concreto es que si un niño o
un adulto quiere contar hasta un millón y se demora
en cada número un segundo, tendría que invertir en
el conteo aproximadamente doce días, sin parar ni
un segundo. El hecho de contar se complica y puede
llegar a ser una actividad imposible de realizar.
Podría pensarse en la utilidad del conteo y si es
posible pasar a otro tipo de cifras, por ejemplo un par
de billones. El asunto se hace complejo, se necesitan
varias generaciones para realizar este conteo simple.
Ahora bien, las matemáticas son más que estas
elucubraciones sencillas, son una forma de lenguaje,
una manera de ver y entender la realidad, la vida.
4. Conclusiones
Posludio. Relato conclusivo
Los núcleos de investigación llevaron a las
conclusiones del trabajo. De cada aparte se puede
extraer el elemento central que da cabida al cierre
investigativo:
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La didáctica y el encanto de las Matemáticas
1. Una vez que el docente es consciente de
la importancia de la lectura, en todas sus
dimensiones en cuanto se reere al universo
estético, tanto como al cientíco y al cotidiano,
se puede entender y hacer comprender al
estudiante que la cuestión de acercarse al
verso, al número o a la realidad varía solo
en la forma, y que cada nivel requiere una
visión o un pensamiento en el cual se debe
apoyar el aprendizaje.
2. Visto el panorama anterior, al docente se
le abren diversas posibilidades de forjar
un mundo matemático por el cual debe
deambular el estudiante con unas categorías
y unos criterios básicos. Entre ellos el juego.
3. Los elementos didácticos que debe tener
presente un docente para la formación de un
gerente, siguiendo a Drucker, están en el orden
de formar una persona con conciencia de su
trabajo, que aprenda permanentemente, atento
a las contingencias del contexto, que utilice la
tecnología y los avances del momento y de
manera particular, que tome decisiones ética
y responsablemente, sintiéndose “miembro”
de un equipo, líder en determinado campo.
4. Narrar es informar, contar, recontar y revisar
lo acontecido. En el caso de las matemáticas, la
narración y la interpretación de lo planteado
implica una estructuración mental en la cual
interactúan formas racionales e imaginativas,
que establecen caminos de relación en pro
del resultado o la solución a determinado
problema o planteamiento.
5. El profesor Eco, facilita el acercamiento a
las dudas más profundas sobre la escritura,
la lectura y la misma existencia. Su libro
Seis paseos por los bosques narrativos apunta,
primordialmente, a uno de los factores
nucleares en la resolución de un problema: la
lectura y por ende, el lector.
6. Así como Eco introduce al auditorio en un
bosque, con la metáfora del paseo y con la
operación de la relación, de forma similar el
profesor y el estudiante que se abocan a un
problema matemático o de otra índole, tienen
que elaborar un mapa mental que los lleve a
salir del meollo, que les brinde alternativas
de solución, que los faculte para que no se
extravíen en el camino elegido.
En principio, tanto el profesor como el estudiante
deben acudir a los elementos didácticos con los
que se aborda un fenómeno, un texto, una realidad
nueva o un problema: observar, visualizar, leer y
comprender. En efecto, para adentrarse en el mundo
didáctico de las matemáticas, es necesario, ante
todo, pensar narrativamente, ser capaz de contar
el problema y sus intríngulis, contarlo y recontarlo
tanto a sí mismo como a los demás. Un mapa, una
relación o un planteamiento no puede existir sin
el otro: alguien cuenta algo a alguien. Se plantea
un problema para ser resuelto o para que, una vez
que se interprete, se esté en capacidad de plantear
más, de abordar el cuestionamiento desde diversas
perspectivas y con distintas herramientas didácticas.
6. Conicto de intereses
Los autores de este artículo declaran no tener
ningún tipo de conicto de intereses sobre el trabajo
presentado.
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